Intuicyjne wyprowadzenie modelu atomu wodoru

Mechanika kwantowa jest tą dziedziną fizyki, która fascynuje, ale zdaje się być kompletnie niezrozumiana przez nawet dobrze wykształconych ludzi. Jej elementy są niby wprowadzane do programu nauczania fizyki w szkołach średnich ale ze względu na wymuszony przez kolejne reformy edukacji, kolejnych ministrów oświaty – absurdalnie niski poziom nauczania przedmiotów ścisłych, poziom wiedzy o mechanice kwantowej wśród przeciętnych uczniów szkół średnich jest bliski zeru.

Dzieje się tak też z innego powodu. Aparat matematyczny mechaniki kwantowej, znacznie odbiega od tego, którym posługuje się przeciętny uczeń. Stąd zajęcia dotyczące tego działu fizyki sprowadzają się raczej do pogadanek.

Teorii powinno się uczyć na przykładach, wykonując konkretne obliczenia, wyprowadzając wzory itp. Tak się szczęśliwie składa, że pewien znany od dawna problem można w sposób ścisły i konkretny rozwiązać używając mechaniki kwantowej i elementarnej matematyki.

Problemem którym się zajmiemy jest wyjaśnienie budowy atomu wodoru.

Podobnie jak każda teoria, tak i mechanika kwantowa opiera się na pewnych założeniach, których się nie udowadnia. Jednym z takich pewników w teorii kwantów, jest to, że z każdą cząstką (ogólnie z każdym obiektem materialnym) związana jest abstrakcyjna fala w zasadzie nie wiadomo czego. Nie jest to bowiem fala jakiegoś pola ale raczej matematyczny bezwymiarowy twór. Do koncepcji fal doprowadziły np. odkrycia dyfrakcji elektronów, które zachowały się jakby były falami. Nie o tym jednak będziemy teraz mówić. Każda fala ma jakąś długość, częstotliwość i amplitudę.

Jednym z postulatów jest wzór na długość fali poruszającej się cząstki

 (I)

w którym  to długość fali (zwanej tutaj falą de Broglie, p – to pęd cząstki i wreszcie h jest nową stałą przyrody (taką jak np. stała grawitacji) nazywaną stałą Plancka. Stała Plancka jest bardzo małą liczbą równą 6.626070040(81)×10−34 Js (Js jest wymiarem- dżul razy sekunda).

Powróćmy teraz do naszego atomu wodoru.

W zamierzchłych czasach powstawania mechaniki kwantowej, nie umiano wyjaśnić dlaczego podczas podgrzewania wodoru zaczyna on świecić a światło to składa się jedynie pojedynczych i bardzo konkretnych długości fal (podobnie zresztą zachowują się wszystkie pierwiastki). Wiedziano już wtedy że najprostszy atom wodoru składa się z protonu i krążącego wokół niego elektronu. Działa to zatem podobnie jak układ planetarny. Słońce w tym modelu to ciężki proton a planeta to lekki elektron. Elektron wybity ze swojej orbity np. przez zderzenie z innym atomem powinien zacząć orbitować nieco dalej od protonu nawet zostać z niego całkowicie wyrwany. Nie ma tu żadnych ograniczeń co do orbit, po których może się poruszać elektron. Z wysokością orbity ma wiąże się też energia elektronu. Im jest on dalej, tym jego energia rośnie. Rośnie jednak w sposób ciągły.

No i w tym miejscu pojawił się problem: okazało się że w rzeczywistym atomie energia elektronu wcale nie rośnie w sposób ciągły, ale skokowy i w dodatku skoki te są ściśle określone. W układzie planetarnym oznaczałoby to, że planeta nie może zmienić swej orbity na nieco dalszą lub nieco bliższą ale tylko na tę „właściwą”. Wygląda to tak, jakby w atomie elektron miał wyznaczone tory i może między nimi co najwyżej przeskakiwać.

Spróbujmy napisać równanie opisujące ruch po okręgu elektronu wokół protonu:

Po lewej stronie mamy siłę bezwładności (odśrodkową) elektronu o masie m a po prawej – siłę przyciągania elektrostatycznego między protonem i elektronem – obie cząstki mają ten sam ładunek e (różni się on tylko znakiem).  Obie siły muszą się równoważyć aby elektron nie odleciał i poruszał się po okregu wokół protonu.

Po uproszczeniu dostajemy:

(II)

Powyższy wzór (II) jest dość oczywisty ale niezupełny. Jak widać wiąże on prędkość v elektronu z promieniem orbity r, ale w zasadzie orbita elektronu może być gdziekolwiek. Nie ma żadnych zabronionych wartości dla r. I w tym właśnie momencie w sukurs przychodzi genialna intuicja Nielsa Bohra, który wyobraził sobie, że elektron jest falą o długości daną wzorem (I) i fala ta musi się zmieścić na orbicie. Inaczej mówiąc na obwodzie orbity można narysować falę stojącą, w taki sposób że obwód orbity (okręgu) jest równy wielokrotności długości fali de Broglie’a dla elektronu. Dokładnie tak jak przedstawia to poniższy rysunek deBroglie-1024x361-1024x361

 

Na pierwszym z nich na orbicie mieszczą się 3 długości fali, na drugim – 4 itd.

Mamy zatem warunek:

gdzie n=1,2,3… itd.

Zastępując w nim pęd p przez jego definicję p=mv, możemy go zapisać w innej formie:

Po przekształceniu mamy:

(III)

W wyniku intuicyjnego założenia dotyczącego fal na orbicie, dostaliśmy wzór, który stanowi drugi element układanki i w powyższej postaci nazywany jest postulatem Bohra. Zauważcie, że lewa strona to nic innego jak moment pędu elektronu. Z kolei druga strona może być jedną z wielokrotności stałej liczby

liczba ta (stała Plancka podzielona przez 2 występuje we wzorach z mechaniki kwatnowej tak często, że nadano jest specjalny symbol nazywany h kreślone

Widać więc że iloczyn mvr nie może przybierać dowolnych wartości. Nazywamy to kwantyzacją.  Ten warunek określony wzorem (III) w połączeniu ze wzorem (II) pozwolą na wyliczenie wszystkich możliwych promieni orbit i prędkości  (a tym samym pędów i energii) elektronu. Wystarczy tylko trochę prostej żonglerki wzorami (z użytym już symbolem h-kreślone):

Z pierwszego możemy wyliczyć v i podstawić do drugiego, a następnie wyliczyć r:

(IV)

Widać, że promień orbity zależy od n. Najmniejszy promień orbity (dla n=1) wynosi

Następne orbity znajdują się 2, 4, 8 … razy dalej. Nie są więc dowolne ale muszą znajdować się w ściśle określonych odległościach o protonu.

Możemy teraz obliczyć energie elektronów na poszczególnych orbitach. I tak: energia potencjalna wynosi (jest ujemna):

energia kinetyczna wynosi oczywiście  . Zauważmy, że tę ostatnią wielkość możemy obliczyć ze wzoru (II). Energia kinetyczna wynosi zatem:

Energia całkowita jest sumą obu energii. Mamy zatem:

Podstawiając za r wartość otrzymaną ze wzoru (IV) dostajemy i dokonując pewnych porządków, dostajemy:

(V)

I znowu energie elektronu w atomie wodoru mogą być pewnymi ustalonymi, nieciągłymi wartościami, czyli podobnie jak orbity, moment pędu – są skwantowane.

Różnice miedzy energiami na poszczególnych orbitach są rejestrowane jako światło o określonej długości pochłaniane lub emitowane. Gdy elektron przeskakuje na wyższy poziom energii, to pochłania określoną porcję energii. Gdy spada samoistnie na niższy poziom – emituje kwant światła o ściśle określonej długości zdeterminowanej różnicą energii obu poziomów (orbit). To właśnie jest obserwowane jako widmo promieniowania, inne dla każdego rodzaju atomu (pierwiastka).

 

 

 

Udostępnij
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Dodaj komentarz