Czy całość może być równa swojej części?

Matematyka jest postrzegana jako coś absolutnie pewnego, zamkniętego, jako twór pozbawiony niespodzianek i w dodatku mocno oparty na zdrowym rozsądku. Nic bardziej mylnego! Matematyka jest bardzo delikatna. Łatwo ją naruszyć a nawet zniszczyć. Łatwo też wpaść w zastawione przez nią logiczne pułapki. Weźmy na przykład następującą prawdę: Całość jest większa od swojej części.. Trudno byłoby pogodzić się z faktem, że jest inaczej. Zdrowy rozsądek podpowiada, że jeśli z walizki pełnej pieniędzy wyjmę kilka banknotów to w walizce pozostanie ich trochę mniej. Zresztą prawda ta stała się jednym z aksjomatów geometrii stworzonej przez Euklidesa.

A jednak nie zawsze całość jest większa od swojej części. Czasami jest jej równa!
I tak na przykład obawiam się, że wszystkich liczb naturalnych od 1 do nieskończoności jest dokładnie tyle samo co liczb parzystych (podzielnych przez 2). Na pierwszy rzut oka wydaje się, że liczb parzystych jest dwa razy mniej, bo przecież tylko co druga liczba jest parzysta. Okazuje się jednak, że to nieprawda. Prawdą jest natomiast, że podzbiór liczb parzystych jest tak samo liczny jak zbiór wszystkich liczb. Ogólnie mówiąc mówiąc część jest równa całości.

Nie ma tu żadnych sztuczek i wbrew pozorom łatwo zrozumieć dlaczego tak jest.

Wyobraźmy sobie, że mamy dwa worki piłek na pierwszy rzut oba są jednakowej wielkości. Chcemy stwierdzić w którym jest więcej piłek. Każdy z nas wie jak postąpić: wystarczy policzyć wszystkie piłki w obu workach, w każdym osobno, i zwyczajnie porównać otrzymane wyniki.
Jak jednak to samo zadanie rozwiąże małe dziecko, które nie zna jeszcze liczb? Otóż jeśli jest wystarczająco sprytne, będzie wyjmować jednocześnie z każdego worka po jednej piłce tak długo aż jednym z worków zabraknie piłek albo w zabraknie ich w obu workach jednocześnie. W ten sposób, nie posługując się liczbami, dziecko stwierdzi w którym worku jest więcej piłek lub czy piłek jest w obu workach tyle samo.

Spróbujmy teraz opisaną metodę zastosować do naszego przykładu z liczbami. Przypominam, że mamy tu do czynienia z dwoma zbiorami (workami): w pierwszym worku mamy wszystkie liczby w drugim – tylko liczby parzyste. Wyciągamy z pierwszego worka liczbę 1 z drugiego – pierwszą liczbę parzystą a więc 2. Ok, mamy parę a zatem kontynuujemy. Z pierwszego worka wyciągamy kolejną liczbę naturalną a więc 2 z drugiego – kolejną liczbę parzystą, czyli 4. Znowu mamy parę więc ciągniemy liczbę dalej. Z pierwszego worka wyciągamy liczbę 3 z drugiego 6, potem znowu z pierwszego worka wyciągamy 4 z drugiego 8.

Widzimy już, że cały ten proces da się kontynuować w nieskończoność. Ogólnie możemy, że każdej liczbie naturalnej N możemy zawsze przyporządkować jedną, jedyną liczbę parzystą a mianowicie 2N. Ponieważ jak widać, bez względu na to jaką kolejną liczbę wyjmiemy z worka pierwszego, zawsze znajdziemy dla niej do pary liczbę z worka drugiego. W związku z tym nasze dziecko mimo że nie potrafi liczyć stwierdzi, że w obu workach jest tyle samo liczb.
Oczywiście dokładnie te same rozważania mogą dotyczyć liczb nieparzystych. Wystarczy wziąć dla każde liczby naturalnej N z pierwszego worka jej odpowiedni nieparzysty 2N+1 znajdujący się w worku drugim.

Czy aby na pewno Królowa Nauk jest powinna być uważana za symbol nudy?

  • 1
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Dodaj komentarz