Najstarsze ślady wykorzystania geometrii

Matematyk z Uniwersytetu Nowej Południowej-Walii (Australia) odkrył rysunki na 3700-letniej glinianej tabliczce, świadczące o znajomości i stosowaniu geometrii. Tabliczka która od ponad wieku znajdowała sięe w muzeum w Stambule – znana jako Si.427 – została odkryta pod koniec XIX wieku na terenie dzisiejszego środkowego Iraku, ale znaczenie znajdujących się na nie rysunków było nieznane aż do dzisiaj.

„Si.427 pochodzi z okresu starobabilońskiego (OB) – 1900 do 1600 pne” – mówi główny badacz dr Daniel Mansfield z UNSW Science School of Mathematics and Statistics.

– To jedyny znany przykład dokumentu katastralnego z okresu starobabilońskiego, który jest planem używanym przez geodetów, określającym granice lądu. W tym przypadku mówi nam on o prawnych i geometrycznych szczegółach dotyczących pola, które zostało podzielone po sprzedaży jego części – twierdzi naukowiec.

Starożytny geodeta używał tak zwanych „trójek pitagorejskich” do tworzenia dokładnych kątów prostych. Sam Pitagoras urodził się jednak ponad tysiąc lat później. Trójka pitagorejska to na przykład trzy liczby całkowite 3, 4, 5. Gdyby zbudować trójkąt o bokach równych 3, 4 i 5, to będzie to trójkąt prostokątny. Kolejne trójki to 5,12, 13; 6,8,10 itp.

Czy musimy napisać historię matematyki na nowo?

W 2017 roku dr Mansfield doszedł do wniosku, że kolejnym fascynującym artefaktem z tego samego okresu, znanym jako Plimpton 322 – okazało się że jest to  unikalny rodzaj tablicy trygonometrycznej zawierającej trójki pigorejskie.

Plimpton 322
Fot. Plimpton 322

„Powszechnie przyjmuje się, że trygonometria – gałąź matematyki zajmująca się badaniem trójkątów – została opracowana przez starożytnych Greków badających nocne niebo w II wieku pne” – mówi dr Mansfield. Babilończycy opracowali jednak własną alternatywną 'prototrygonometrię’, aby rozwiązać problemy związane z pomiarem ziemi.

Uważa się, że ujawniona dzisiaj tablica Si.427 istniała jeszcze przed Plimpton 322 – w rzeczywistości problemy geodezyjne prawdopodobnie zainspirowały powstanie Plimpton 322.

Istnieje cały zbiór trójkątów prostokątnych o różnych kształtach. Ale tylko bardzo mała garstka mogła być wykorzystywana przez babilońskich geodetów. „Plimpton 322 to systematyczne badanie tego zbioru w celu odkrycia użytecznych kształtów” – mówi dr Mansfield.

W 2017 roku zespół badaczy spekulował na temat przeznaczenia Plimpton 322, wysuwając hipotezę, że prawdopodobnie miał on jakiś praktyczny cel, prawdopodobnie używany do budowy pałaców i świątyń, budowania kanałów lub pól pomiarowych. Rzeczywistość okazała się bardziej trywialna: Dzięki odkryciu Si.427  okazało się, że Babilończyków, bardziej niż budowa świątyń, interesowały pomiary geodezyjne związane z podziałem ziemi związaną z jej spredażą lub dziedziczeniem. Był to bowiem okres, w którym ziemia zaczęła być prywatna – ludzie zaczęli myśleć o ziemi w kategoriach„ moja ziemia i twoja ziemia i chcieli ustanowić odpowiednie granice, aby mieć pozytywne relacje sąsiedzkie. Granice są właśnie pokazane na tabliczce.

Odcyfrowany obraz znajdujący się na tabliczce

 

Tworzenie kątów prostych — łatwiej powiedzieć niż zrobić

Jednym prostym sposobem na dokładne określenie kąta prostego jest zrobienie prostokąta o bokach 3 i 4 oraz przekątnej 5. Te specjalne liczby tworzą 3-4-5 „trójkę pitagorejską”, a prostokąt z tymi wymiarami ma matematycznie idealne kąty proste. Jest to ważne dla starożytnych geodetów i używane do dziś.

„Starożytni geodeci, którzy stworzyli Si.427, zrobili coś jeszcze lepszego: używali różnych trójek pitagorejskich, zarówno jako prostokątów, jak i trójkątów prostokątnych, aby skonstruować dokładne kąty proste” – mówi dr Mansfield.

Trójek pitagorejskich wg, których geodeci mogli dzielić ziemię jest oczywiście nieskończenie wiele. Wiele trójek da się otrzymać z innej przez zwyczajne przemnożenie jej liczb przez dowolną liczbę naturalną. Najważniejsze znaczenie mają tzw, pierwotne trójki, których nie da się otrzymać w sposób w sposób opisany powyżej, tzn. takie, której liczby nie mają wspólnego dzielnika (innego niż 1 oczywiście).

Jednak trudno jest pracować z liczbami pierwszymi większymi niż 5 w systemie liczb babilońskich o podstawie 60.

Wydaje się, że autor Plimpton 322 przeszedł przez wszystkie te pitagorejskie kształty, aby znaleźć te przydatne. „To głębokie zrozumienie praktycznego zastosowania prostokątów zyskało miano „prototrygonometrii”, ale jest zupełnie inne niż nasza współczesna trygonometria obejmująca sin, cos i tan.

Dr Mansfield ma nadzieję dowiedzieć się, jakie inne zastosowania mieli Babilończycy dla swojej prototrygonometrii.